如图，在等腰直角△ABC中AC=AB，BD⊥AH于D，CH⊥AH于H，HE、DF分别平分∠AHC和∠ADB，则下列结论中①△AHC≌△BDA；②DF⊥HE；③DF=H

网友回答

D

解析分析：①利用同角的余角相等，得∠CAH=∠ABD，再利用AAS判定△AHC≌△BDA；②如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G，证明CH∥BM，同旁内角∠CHD与∠MDH互补，两角的平分线互相垂直；③利用角平分线的定义，得∠EHA=∠FDB，又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD，得出△EHA≌△FDB，进而得出结论；④根据△EHA≌△FDB，得AE=BF．

解答：解：①∵∠CAH+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°∴∠CAH=∠ABD又∵∠CHA=∠ADB=90°，AC=AB∴△AHC≌△BDA（AAS）；②如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G∵∠CHD+∠HDM=90°+90°=180°∴CH∥BM∵DF平分∠ADB∴DG平分∠HDM又∵HE平分∠AHC∴∠HGD=90°∴DF⊥HE；③∠EHA=∠CHA∠FDB=∠ADB又∵∠CHA=∠ADB∴∠EHA=∠FDB又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD∴△EHA≌△FDB∴DF=HE；④∵△EHA≌△FDB∴AE=BF；故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质，平行线的性质，同角的余角相等等知识．