已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1．（1）证明：数列是等差数列；（2）若不等式an+1＜（5-λ）an恒成立，求λ的取值范围．

网友回答

解：（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1-22
得a1=4．Sn=2an-2n+1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n，
两式相减得an=2an-2an-1-2n．
即an=2an-1+2n，
所以
=．
又，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
即an=（n+1）?2n．
因为an＞0，所以不等式an+1＜（5-λ）an等价于．
因为，
而0＜≤1，
所以，
故3＜5-λ，即λ＜2．
故使不等式an+1＜（5-λ）an成立的λ的取值范围是（-∞，2）．?…（12分）
解析分析：（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1-22得a1=4．由Sn=2an-2n+1，Sn-1=2an-1-2n，得an=2an-1+2n，由此能够证明数列是等差数列．（Ⅱ）由，知an=（n+1）?2n．因为an＞0，所以不等式an+1＜（5-λ）an等价于．因为，而0＜≤1，所以，由此能求出使不等式an+1＜（5-λ）an成立的λ的取值范围．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．