国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）若把一颗钻石切割成重量比为1：3的两颗钻石，求价值损失的百分率；
（Ⅱ）试用你所学的数学知识证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
网友回答
解：（Ⅰ）依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw2=6000w2．…（4分）
设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：3切割后的价值为．
价值损失为．
价值损失的百分率为
答：价值损失的百分率为37.5%．…（8分）
（Ⅱ）解法一：若把一颗钻石按重量比为m：n切割成两颗，价值损失的百分率应为，又，
等号当且仅当m=n时成立．即重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大…（13分）
解法二：设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1：x，则价值损失的百分率为，
又x＞0，∴x2+1≥2x，故
等号当且仅当x=1时成立．故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大…（13分）
解析分析：（Ⅰ）先由题意可设价值与重量的关系式为：y=kx2，再根据3克拉的价值是54000美元求得k值，即可求得此钻石的价值与重量的函数关系式；（Ⅱ）解法一：若把一颗钻石按重量比为m：n切割成两颗，确定价值损失的百分率，利用基本不等式可得结论；解法二：设一颗钻石切割成两颗，其重量比为1：x，确定价值损失的百分率，利用基本不等式可得结论．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于中档题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．