解答题已知x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m

网友回答

解：（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6
（2）由（I）知，f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=
当m＜0时，有，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：
x1（1，+∞）f′（x）＜00＞00＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当m＜0时，f（x）在单调递减，在单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，
则函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，
与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．解析分析：（1）由x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；（2）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．（3）先由f（1）=m+4，由题意得到函数f（x）的图象在上和x轴没有交点，在上单调递减，与x轴有一个交点，从而证得：若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．点评：考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属中档题．