解答题已知△ABC是正三角形，GC是△ABC的中线，EA、FB、CD都垂直于平面ABC．EA=3a，AB=CD=2a，FB=a，设平面EDF与平面ABC的交线为l．
（1）证明GC∥l；
（2）证明平面EABF与平面EDF垂直；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
网友回答
证明：（1）取EF中点H，连DH，HG…1′
在梯形EABF中，HG是梯形中位线，故HG∥DC，HG==2a=CD，
∴四边形HGCD是平行四边形，…3′
∴CG∥DH，
∴CG∥平面EFD，平面EDF∩平面ABC=l
∴CG∥l…5′
（2）△ABC是正三角形，G是AB的中点，
∴CG⊥AB，
∵AE⊥CG，
∴CG⊥平面ABFE，
∴DH⊥平面ABFE，
∴平面EABF⊥平面EDF；…9′
（3）∵三棱柱EMN-ABC的体积V1=SABC?|AE|=?2a?2a?sin60°?3a=3a3，
而四棱锥E-MFDN的体积V2=?SMFDN?h（h为该四棱锥的高，其数值为底面等边△EMN的底边MN上的高），
∴V2=??h
=??
=a3，
∴多面体ABCDEF的体积V=V1-V2=3a3-a3=2a3．…12′解析分析：（1）取EF中点H，连DH，HG，易证四边形HGCD是平行四边形，由线面平行的性质定理可证GC∥l；（2））△ABC是正三角形，G是AB的中点，可证得CG⊥AB，而CG⊥AB，于是可证CG⊥平面ABFE，从而可证平面EABF⊥平面EDF；（3）利用割补法可求得多面体ABCDEF的体积．点评：本题考查直线与平面平行的性质，考查平面与平面垂直的判定及合几何体的体积问题，考查割补法，属于中档题．