已知函数f（x）是R上的偶函数，满足f（x）=-f（x+1），当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，则A.B.f（sin2）＞f（cos2）C.D.

网友回答

C

解析分析：由f（x）=-f（x+1）故函数的周期为2．再由当x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2013，可得f（x）在[-1，0]上是增函数．再由f（x）是R上的偶函数，可得f（x）[0，1]上是减函数．检验各个选项是否正确即可．

解答：由f（x）=-f（x+1）可得 f（x）=f（x+2），故函数的周期为2．当x∈[2011，2012]时的图象与x∈[-1，0]时的图象形状一样，只是左右位置不同．由于x∈[2011，2012]时，f（x）=x-2003，这是一个增函数，所以f（x）在[-1，0]上是增函数．已知函数f（x）是R上的偶函数，则在f（x）[0，1]上是减函数．由于 1＞sin＞cos＞0，∴，故A错．由于 1＞|sin2|＞|cos2|＞0，∴f（|sin2|）＜f（|cos2|），故B错．由于 0＜sin＜cos＜1，∴f（sin?）＜f（cos?），故C正确．由于?1＞sin1＞cos1＞0∴f（sin1）＜f（cos1），故D错．故选C．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题．