已知函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）若数列{an}满足a1∈（0，1），an+1=ln（2-an）+an

网友回答

解：（1）∵函数f（x）=ln（2-x）+ax在区间（0，1）上是增函数．
∴在区间（0，1）上恒成立，…（2分）
∴，又在区间（0，1）上是增函数
∴a≥g（1）=1即实数a的取值范围为a≥1．…（3分）
（2）先用数学归纳法证明0＜an＜1．当n=1时，a1∈（0，1）成立，…（4分）
假设n=k时，0＜ak＜1成立，…（5分）
当n=k+1时，由（1）知a=1时，函数f（x）=ln（2-x）+x在区间（0，1）上是增函数
∴ak+1=f（ak）=ln（2-ak）+ak∴0＜ln2=f（0）＜f（ak）＜f（1）=1，…（7分）
即0＜ak+1＜1成立，∴当n∈N*时，0＜an＜1成立．…（8分）
下证an＜an+1．∵0＜an＜1，∴an+1-an=ln（2-an）＞ln1=0．…（9分）
∴an＜an+1．综上0＜an＜an+1＜1．…（10分）

解析分析：（1）通过求解函数的导数，利用导数大于等于0恒成立，即可求实数a的取值范围；（2）先利用数学归纳法证明0＜an＜1．然后利用作差法以及对数运算法则证明an＜an+1即可．

点评：本题考查函数的导数的应用，单调性与导数的关系，数学归纳法证明不等式问题的方法，考查逻辑推理与计算能力．