“a=1”是“函数f（x）=x3+ax2+ax+1没有极值”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

网友回答

A

解析分析：函数f（x）=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），又导数为 f′（x）=x2+ax+，故判别式△≤0，解不等式求得实数a的取值范围．最后再看与“a=1”的关系即得．

解答：函数f（x）=x3+ax2+ax+1在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解（但导数在点的两侧符号相同）．函数f（x）=x3+ax2+ax+1 的导数为 f′（x）=x2+ax+，∴△=a2-2a≤0，∴0≤a≤2，由于“a=1”?“0≤a≤2”；反之不成立．故“a=1”是“函数f（x）=x3+ax2+ax+1没有极值”的充分不必要条件．故选A．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，以及一元二次方程无解或只有唯一解的条件．属于基础题．