设Sn是正项数列{an的前n项和，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在等比数列{bn}，使?a1b1+a2b2+L+anbn=（2n-1）?2n+1+2

网友回答

解：（1）由Sn=+an-??得Sn+1=，
? 相减并整理得 （an+1+an）（an+1-an-2）=0
? 又由于an+1+an＞0，则an+1=an+2，故{an}是等差数列．
∵+a12-，所以a1=3
??? 故an=2n+1????????????????????????????????…4分
（2）当n=1，2时，a1b1=22（2×1-1）+2=6，
a1b1+a2b2=23（2×2-1）+2=26，可解得b1=2，b2=4，猜想bn=2n，使a1b1+a2b2+…
+anbn=2n+1（2n-1）+2成立．
证明：3?2+5?22+7?23+…+（2n+1）2n=2n+1（2n-1）+2恒成立．
令S=3?2+5?22+7?23+…+（2n+1）2n?? ①
2S=3?22+5?23+7?24+…+（2n+1）2n+1?②
②-①得：S=（2n+1）2n+1-2?2n+1+2=（2n-1）2n+1+2，
故存在等比数列{bn}符合题意…8分
（3）Cn=＜=（）
则Tn=c1+c2+…+cn（+…+）=（-）＜
故…12分
解析分析：（1）本题已知数列前n项和的表达式，求通项通常用an=Sn-Sn-1，求通项，再验证n=1时，是否适合所求的通式，若符合就写成统一式，否则，写成分段的形式；（2）假设存在这样的等比数列{bn}，使?a1b1+a2b2+…+anbn=（2n-1）?2n+1+2?对一切正整数n都成立，故可先研究前两项，找出规律，提出猜想，再进行证明得出结论；（3）由（1），将an=2n+1代入，求出Cn的表达式，再所其形式求出列{Cn}的前n项和为Tn，由和的形式与的比较即可得到它们的大小关系．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查了数列递推式的应用，错位相减法求和的技巧放缩法证明不等式，解题的关键是熟练掌握错位相减法的技巧，放缩法的技巧，本题中第二问先研究前两项得出规律，提出猜想，再进行证明是研究规律不明显的问题时常用的思路，第三问中用到了放大的技巧，要注意不要放得过大，放缩法证明不等式技巧性很强，需要有有较高的观察能力与判断能力，既要放，又不能放得过了头，谨记