已知一系列的抛物线Cn的方程为y=anx2（n∈N*，an＞1），过点An（n，ann2）作该抛物线Cn的切线ln与y轴交于点?Bn，Fn是?Cn的焦点，△AnBnFn的面积为n3
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：1+≤an＜2；
（3）设bn=2an-an2，求证：当n≥1时，．
网友回答
解：（1）An（n，ann2）在抛物线Cn上，
∵y=anx2，
∴y′=2anx，
则切线ln的斜率为2ann，
切线方程为??y-ann2=2?ann（x-n）…（2分）
令x=0，得y=-ann2，，
∴Bn（0，-ann2），
又Fn（0，）
∴S=（+ann2）n=n3
∴+ann2=2n2，即4n2an2-8n2an+1=0，…（3分）
∴△=64n4-16n2=16n2（4n2-1）＞0，
∵an＞1，
∴an=1+…（4分）
（2）证明：∵an=1+=1+，
{an}为递增数列，
∴an≥1+=1+．…（6分）
又an＜1+=2，
∴1+≤an＜2．…（8分）
（3）．证明：…（9分）
∴=
∵k≥2时，
=…（12分）
∴
=…（14分）
解析分析：（1）An（n，ann2）在抛物线Cn上，y′=2anx，则切线ln的斜率为2ann，切线方程为??y-ann2=2?ann（x-n）．令x=0，得y=-ann2，由此能求出an．（2）由an=1+=1+，{an}为递增数列，由an≥1+=1+，由此能证明1+≤an＜2．（3）．由，知=，由此能够证明．
点评：本题考查数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．