已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21

网友回答

解：（1）由an+2+2an-3an+1=0，得an+2-an+1=2（an+1-an），
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，公比为2的等比数列，
∴an+1-an=3?2n-1（3分）
∴n≥2时，an-an-1=3?2n-2，，a3-a2=3?2，a2-a1=3，
累加得an-a1=3?2n-2+3?2n-3+…+3?2+3=3（2n-1-1）
∴an=3?2n-1-2（当n=1时，也满足）（6分）
（2）由（1）利用分组求和法得Sn=3（2n-2+2n-3++2）-2n=3（2n-1）-2n（9分）Sn=3（2n-1）-2n＞21-2n，
得3?2n＞24，即2n＞8=23，∴n＞3
∴使得Sn＞21-2n成立的最小整数4．（12分）

解析分析：（1）由an+2+2an-3an+1=0，得an+2-an+1=2（an+1-an），数列{an+1-an}就以a2-a1=3不首项，公比为2的等比数列，由此能够求出数列{an}的通项公式．（2）利用分组求和法得Sn=3（2n-2+2n-3+…+2）-2n=3（2n-1）-2n＞21-2n，由眦能求出使得Sn＞21-2n成立的最小整数．

点评：本题考查等比数列的通项公式的求法和计算数列前n项和的最小值，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，认真审题，注意公式的合理选用．