已知函数f(x)=ax³+x²-ax 讨论函数g(x)=f(x)/x-lnx的单调区间如果存在a∈【-2,-1】,使函数h(x)=f(x)+f'(x),x∈【-1,b】在x=-1除取到最小值,试求b的最大值
网友回答
1f(x)=ax³+x²-ax
g(x)=f(x)/x-lnx=ax²+x-a-lnx (x>0)g'(x)=2ax+1-1/x=(2ax²+x-1)/x
当a=0时,g'(x)=(x-1)/x
g(x)增区间为(1,+∞),减区间(0,1)
当a>0时,由g'(x)=0 即2ax²+x-1=0
解得x=[-1-√(1+8a)]/(4a)（舍去）或x=[-1+√(8a+1)]/(4a)
∴递减区间为(0,[-1+√(8a+1)]/(4a) )
递增区间为( [-1+√(8a+1)]/(4a) ),+∞)
当a a≥-1/8
∴-1/80
不等式①可化为ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②
令k（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a）,
∵a∈[-2,-1]∴k(x)图象是开口向下的抛物线,
故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．
又k(-1）=-4a＞0,
∴②成立的充要条件是k（b）≥0,
即 ab²+(2a+1)b+1-3a≥0
∴a(b²+2b-3)+b+1≥0
∵b>-1,b+1>0即 a(b²+2b-3)/(b+1)≥-1
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤-1/a
∵a∈[-2,-1],∴-1/a∈[1/2,1]
又对于a存在即可
∴(b²+2b-3)/(b+1)≤1
∵b+1>0 ∴b²+b-4≤0
解得(-1-√17)/2≤b≤(-1+√17)/2
即b的√最大值为(-1+√17)/2
就这样吧,应该没问题,不清楚的地方,
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
（1）g'(x)=2ax+1-1/x，注意到g'(x)是个奇函数，只要讨论x>0即可。对于x当a>=1/8时，x>0时，g'(x)>=0；x当0=0；(1+√(1-8a))/4a=0；当中的时候g'(x)当a=0时，x>=1时，g'(x)>=0；0当a=0；x>(1-√(1-8a))/4a时，g'(x)（2）h'(x)=3ax²+(6a+2)x+(2-a)。a0。后来求下右侧根的最大值即可，我的结果是b=(-2+√13)/3。