解答题过椭圆C：的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点．（1）求椭圆C的方程；（2）

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解：（1）由题设知c=1，①，又a2=b2+c2，即a2=b2+1②，
联立①②解得a2=2，b2=1，
所以椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，A（-，0），B（，0），F1（-1，0），F2（1，0），
设P（x0，y0）（x0≠±1），则=（x0+1，y0），=（x0-1，y0），
因为P为以F1F2为直径的圆上的动点，所以⊥，即?=0，
所以（x0+1）（x0-1）+y02=-1=0，即=1，
所以=（，y0）?（，y0）═（）?（）+y02=-2=1-2=-1．
故是定值，为-1．
（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y=k（x+2），
由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，则△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，即③，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
由D为弦MN的中点，且，得FM⊥FN，即，
所以（x1+1，y1）?（x2+1，y2）=（x1+1）?（x2+1）+y1y2=x1x2+x1+x2+1+k2（x1+1）（x2+1）=0，即（k2+1）x1x2+（2k2+1）（x1+x2）+4k2+1=0，
所以（k2+1）?+（2k2+1）?+4k2+1=0，
解得，不满足③式，
故不存在这样的直线l．解析分析：（1）由题设知c=1，，又a2=b2+c2，联立方程组解出即可；（2）设P（x0，y0）（x0≠±1），P为以F1F2为直径的圆上的动点，所以⊥，即?=0，利用向量数量积运算可得=1，由此可算出的值；（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y=k（x+2），由得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0，则△＞0③，设M（x1，y1），N（x2，y2），由D为弦MN的中点，且，得M⊥FN，即，根据向量数量积运算及韦达定理可表示为k的方程，解出k值，验证是否满足③式即可；点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量数量积的运算及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．