已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．（1）证明：点O到直线AB的距离为定值；（2）求|OA|?|OB|的最小值．

网友回答

（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
∴原点O到直线的距离为d=|x1|=
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-，x1x2=
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）-km×+m2=0
∴5m2=4（k2+1）
∴原点O到直线的距离为d==
综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
∴|OA|=，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=，即时，|OA||OB|取得最小值为
解析分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．