已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.(1)求证对任意实数a,该圆恒过一定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.

发布时间:2020-07-31 12:31:54

已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0.
(1)求证对任意实数a,该圆恒过一定点;
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求a的值.

网友回答

(1)证明:将圆的方程整理为(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,
令可得
所以该圆恒过定点(4,-2).
(2)解:圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5a2-20a+20=5(a-2)2,所以圆心为(2a,a),半径为|a-2|.
若两圆外切,则|a|=2+|a-2|,由此解得a=1+.
若两圆内切,则|a|=|2-|a-2||,由此解得a=1-或a=1+(舍去).
综上所述,两圆相切时,a=1-或a=1+.
解析分析:(1)将a分离,可得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,对任意实数a成立,则,由此可得结论;(2)利用两圆外切,内切,分别求出a的值,即可得到结论.

点评:本题考查圆过定点,考查圆与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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