定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）?f（y）（x，y∈R），且当x＞0时，f（x）＞1；f（2）=4．（Ⅰ）求f（1），f（-1）的值；????（Ⅱ）

网友回答

（Ⅰ）解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）?f（y）（x，y∈R），
且当x＞0时，f（x）＞1，f（2）=4，
∴f（2）=f（1+1）=f（1）?f（1）=4，
∴f（1）=2，或f（1）=-2（舍）．
故f（1）=2．
∵f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）?f（2），
∴f（-1）===．
（Ⅱ）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]
∵x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＞1
∴f（x2-x1）-1＞0，
∵f（x1）=f（）=[f（）]2＞0，
∴f（x1）f[（x2-x1）-1]＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
故f（x）在R上是增函数．
（III）解：∵，
∴f（x2-ax+a）?f（x2-ax+a）=f（2x2-2ax+2a）≥2=f（1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴2x2-2ax+2a≥1，
∴由对任意x∈（1，+∞）恒成立，
得2x2-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∵y=2x2-2ax+2a-1的对称轴是x=，
∴在[，+∞）上y=2x2-2ax+2a-1是单调递增函数．
∵2x2-2ax+2a≥1对任意x∈（1，+∞）恒成立，
∴≤1，故a≤2．
∴实数a的取值范围（-∞，2]．
解析分析：（Ⅰ）由题设条件知f（2）=f（1+1）=f（1）?f（1）=4，f（1）=f（（-1）+2）=f（-1）?f（2），由此能求出f（1）和f（-1）．
（Ⅱ）设x1，x2∈R且x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]，由x2-x1＞0，知f（x2-x1）-1＞0，再由f（x1）=f（）=[f（）]2＞0，能够证明f（x）在R上是增函数．
（III）由，知f（x2-ax+a）?f（x2-ax+a）=f（2x2-2ax+2a）≥2=f（1），再由f（x）在R上是增函数，能够求出实数a的取值范围．

点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的单调性的判断与证明，突出考查等价转化思想的运用，考查基本不等式，综合性强，难度大，属于难题．