如图，在△ABC中，AB=AC
（1）P为BC上的中点，求证：AB2-AP2=PB?PC；
（2）若P为BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；
（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．
网友回答
证明：（1）如右图所示，连接AP，
∵AB=AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP=CP，
在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2，
∴AB2-AP2=BP2，
又∵BP=CP，
∴BP?CP=BP2，
∴AB2-AP2=BP?CP；
（2）成立．
如右图所示，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
同理，AP2=AD2+DP2，
∴AB2-AP2=AD2+BD2-（AD2+DP2）=BD2-DP2，
又∵BP=BD+DP，CP=CD-DP=BD-DP，
∴BP?CP=（BD+DP）（BD-DP）=BD2-DP2，
∴AB2-AP2=BP?CP；
（3）AP2-AB2=BP?CP．
如右图，P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，
在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，
∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，
又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
∴BP?CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，
∴AP2-AB2=BP?CP．
解析分析：（1）先连接AP，由于AB=AC，P是BC中点，利用等腰三角形三线合一定理可知AP⊥BC，再在直角三角形利用勾股定理可得AB2=BP2+AP2，即AB2-AP2=BP2，而BP=CP，易得BP?CP=BP2，那么此题得证；
（2）成立．连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，在等腰三角形ABC中利用三线合一定理，可知BD=CD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，同理有AP2=AD2+DP2，易求AB2-AP2的差，而BP=BD+DP，CP=CD-CP=BD-DP，易求BP?CP，从而可证AB2-AP2=BP?CP；
（3）AP2-AB2=BP?CP．连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，在△ABC中，利用等腰三角形三线合一定理可知
BC=CD，在Rt△ABC中和Rt△ADP中，利用勾股定理分别表示AP2、AB2，而BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，
易求BP?CP的值，从而可证AP2-AB2=BP?CP．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用BD、DP的和差来表示BP和CP．