已知数列{an}满足：，，an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足：b1＜0，3bn-bn-1=n（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和

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解：（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），
∴an+1-an=an-an-1（n≥2），
即an+1-an=an-an-1=…=a2-a1．
∴数列{an}为等差数列．
（Ⅱ）证明：∵{an}为等差数列，
∴公差，
∴．
∵3bn-bn-1=n（n≥2）．
∴，
∴
又b1-a1≠0，
∴对．
数列{bn-an}是公比为的等比数列．
（Ⅲ）由（II）得bn-an=（b1-a1）（ ）n-1，
∴bn=，
∵b1＜0，可知数列{bn}为递增数列…10分
由当且仅当n=4时，Sn取得最小值可得S3＞S4，S4＜S5 ，
∴b4＜0，b5＞0，
又当b4＜0，b5＞0时，
∵数列{bn}为递增数列，
∴Sn取得最小值时，n=4，
即当且仅当n=4时，Sn取得最小值的充要条件是b4＜0，b5＞0…12分
由b4＜0得，?（）3＜0，解得b1＜-47，
由b5＞0得，?（）4＞0，解得b1＞-182，
∴b1的取值范围为（-182，-47）．…14分
解析分析：（Ⅰ）由an+1=2an-an-1（n≥2，n∈N*），得an+1-an=an-an-1=…=a2-a1．所以数列{an}为等差数列．（Ⅱ）由{an}为等差数列，公差，知．由3bn-bn-1=n（n≥2）．知，由此能够证明数列{bn-an}是等比数列．（Ⅲ）由bn-an=（b1-a1）（ ）n-1，知bn=，由b1＜0，可知数列{bn}为递增数列．由当且仅当n=4时，Sn取得最小值可得S3＞S4，S4＜S5 ，所以b4＜0，b5＞0．由此能求出b1的取值范围．

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．