如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求

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解：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．∴BC⊥CC1，
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1．
∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，而BC∥B1C1，则B1C1⊥A1D．
在Rt△ACC1与Rt△DC1A1中，，∴△ACC1～△DC1A1，
∴∠AC1C=∠DA1C1．∴∠AC1C+∠C1DA1=90°．即A1D⊥AC1．
∵B1C1∩AC1=C1，∴A1D⊥平面AB1C1．
（Ⅱ）如图，设A1D∩AC1=H，过A1作AB1的垂线，垂足为G，连GH，
∵A1D⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1D，∴AB1⊥平面A1GH∴∠A1GH为二面角A1-AB1-C1的平面角．
在Rt△AA1B1中，，A1B1=2，∴，∴；
在Rt△AA1C1中，，，∴AC1=3，∴．
∴在Rt△A1GH中，，．
故锐二面角A1-AB1-C1的余弦值为．
即平面A1B1A与平面AB1C1所成的锐二面角的余弦值为．
解析分析：（Ⅰ） 由已知，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，证出B1C1⊥AA1C1C，从而得B1C1⊥A1D；在矩形AA1C1C中，利用△ACC1～△DC1A1，证出A1D⊥AC1，由线面垂直的判定定理即可证明：A1D⊥平面AB1C1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，设垂足（即为A1D与AC1的交点）为H，过A1作AB1的垂线，垂足为G，连GH，有三垂线定理逆定理，可证∠A1GH为二面角A1-AB1-C1的平面角，再解三角形A1GH即可获解．

点评：本题主要考查二面角的计算，直线和平面垂直的性质、判定，考查学生空间想象能力，计算能力、转化能力．空间问题平面化，是解决空间问题最核心的思想方法．．