在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小三角形ACD与三角形BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC

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解析分析：①假设AC=a成立，根据等腰三角形的性质及图形折叠的性质可求出四边形AB1DC为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；②假设S△ABC=成立，再由△ABC的面积公式可求出AC=a，根据三角形的三边关系可求出∠B=60°，由平行四边形的判定定理可求出四边形AB2CD为平行四边形，再根据平行四边形的性质及三角形的面积公式求解；③综合①②可知，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．

解答：解：对于结论①，若AC=a成立，如图（一），在△ACD中，由∠CAD=30°，AD=a，∴∠ADC=（180°-∠CAD）=75°，∠CDB=180°-∠ADC=105°，而∠CDB1=∠CDB∴∠B1DA=105°-75°=30°，∴AC∥B1D，∵B1D=BD=a=AC，∴四边形AB1DC为平行四边形．∴S△CED=S△ACD=S△ABC，满足条件，即AC的长可以等于a，故①正确；对于结论②，若S△ABC=，∵S△ABC=AB?AC?sin∠CAB，∴AC=a，∵AC=a，∠B=60°，如图（二），∴∠CDB=60°=∠DCB2，∴AD∥B2C，又∵B2C=BC=a=AD，∴四边形AB2CD为平行四边形，∴S△CFD=S△ACD=S△ABC，满足条件，即S△ABC的值可以等于，故②正确；对于结论③，由平行四边形AB1CD或平行四边形AB2CD，显然成立，故③正确．

点评：本题考查的是翻折变换的性质及平行四边形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．