在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=nan-n2，求数列?{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）设{an}的前n项和为Sn，证明：不等式Tn+1≤4Tn对任意n∈N*均成立．
网友回答
解：（Ⅰ）由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*
又a1-1=1≠0
∴…（3分）
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
∴an-n=4n-1即an=4n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=n（an-n）=n?4n-1…（5分）
∴Sn=1?40+2?41+3?42+…n?4n-1…①
?4Sn=1?41+2?42+3?43+…（n-1）?4n-1+n?4n…②…（6分）
由①-②得：-3Sn=1+4+42+…4n-1-n?4n…（7分）
=…（8分）
∴=…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）an=4n-1+n
∴数列{an}的前n项和=
=…（11分）
∴对于任意的n∈N*，
…（12分）
==…（13分）
即Tn+1≤4Tn对于?n∈N*成立…（14分）
解析分析：（Ⅰ）把题设整理成an+1-（n+1）=4（an-n）的样式进而可知 为常数，判定数列{an-n}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{an-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{bn}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn．（Ⅲ）由（Ⅰ）an=4n-1+n，从而可得数列{an}的前n项和=，再利用作差法化简Tn+1-4Tn即可．
点评：本题主要考查了等比数列的判定和数列的求和问题．当数列是由等比和等差数列构成时，常可用错位相减法求的数列的前n项和．应注意掌握作差法在证明不等式中的运用．