如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D1是棱B1C1的中点．
（I）求证：A1D1⊥平面BB1C1C；
（II）已知线段A1B1上的一点P，满足直线AP与平面A1D1C所成角的正弦值为的值．
网友回答
解：（Ⅰ）∵A1B1=A1C1，点D1是棱B1C1的中点．
∴A1D1⊥B1C1，
又∵BB1⊥平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，
又∵BB1∩B1C1，
∴A1D1⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=AC=AA1=2，
∴A（0，0，0），A1（0，0，2），C（0，-2，0），C1（0，-2，2），B1（-2，0，2），D1（-1，-1，2）．
=（0，2，2），=（-1，1，2），
设平面A1D1C的法向量，
则即，
令y=-1，则z=1，x=1，∴．
设，0≤λ≤1，
∵=（-2，0，0），∴=（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2），=（-2λ，0，2）．
∵直线AP与平面A1D1C所成角的正弦值为，
∴===，
化为3λ2-10λ+3=0，解得或3．
∵0≤λ≤1，
∴，即．
解析分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）通过空间直角坐标系，分别求出平面CA1D1的法向量及斜线AP的向量坐标，进而求出其夹角，即可解决问题．
点评：熟练掌握线面垂直的判定定理和通过建立空间直角坐标系求出法向量与斜向量的夹角是解决问题的关键．