填空题设{an}（n∈N*）为等差数列，则使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是________．
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50解析分析：根据等差数列|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010，可得数列{an}中 的有正有负，不妨设，根据题意可得d＞3，根据|a1|+|a2|+…+|an|=2010，去绝对值求和，即可求得结果．解答：{an}（n∈N*）为等差数列，因为|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|，∴{an}中的项一定满足或，且项数n为偶数，设n=2k，k∈N*，等差数列的公差为d，首项为a1，不妨设，则a1＜0，d＞0，且ak+3＜0，由可得d＞3，∴|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-ak+ak+1+ak+2+…+a2k=-2（a1+a2+…+ak）+（a1+a2+…+ak+ak+1+ak+2+…+a2k）=-2[ka1+d]+2ka1+d=k2d=2010，∵d＞3，∴k2d=2010＞3k2，解得k2＜670，而k∈N*，∴k≤25，故n≤50．∴使|a1|+|a2|+…+|an|=|a1+1|+|a2+1|+…+|an+1|=|a1+2|+|a2+2|+…+|an+2|=|a1+3|+|a2+3|+…+|an+3|=2010成立的数列{an}的项数n的最大值是50．故