解答题如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点F是棱C1D1的中点；
（Ⅰ）若E是CC1的中点，求证：EF∥平面A1BD；
（Ⅱ）求出CE的长度，使得A1-BD-E为直二面角．
网友回答
解：（I）连接CD1，
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1且B1C1∥BC，B1C1=BC
∴四边形A1D1BC是平行四边形，可得CD1∥A1B
∵△C1CD1中，EF是中位线，∴EF∥CD1
∴EF∥A1B-----（3分）
∵EF?面ABB1A1，A1B?面ABB1A1
∴EF∥平面A1BD；…（6分）
（II）连接AC与BD相交于点O，连接A1O，EO
∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥AA1
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，AC、AA1是平面AA1C1C内的相交直线，
∴BD⊥平面AA1C1C
∵A1O、EO?平面AA1C1C，∴A1O⊥BD、EO⊥BD
∴∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角，
因此，要使A1-BD-E为直二面角，即∠A1OE=90°，可得∠A1OA+∠EOC=90°
∴∠OEC=∠A1OA=90°-∠EOC，结合∠A1AO=∠OCE=90°，得△A1AO～△OCE．
设CE=x，所以=，…（*）
∵四边形ABCD是∠DAB=60°的菱形，AB=2
∴AO=OC=AC=，
又因为AA1=4，代入（*）可得，解之得
∴当CE的长度为时，二面角A1-BD-E为直二面角．…（12分）解析分析：（I）连接CD1，由直四棱柱的性质，可得A1D1BC是平行四边形，从而CD1∥A1B，再用三角形中位线定理证出EF∥CD1，所以EF∥A1B，最后用线面平行的判定定理，可证出EF∥平面A1BD；（II）连接AC与BD相交于点O，连接A1O，EO．利用线面垂直的判定与性质可证出A1O⊥BD、EO⊥BD，从而∠A1OE就是二面角A1-BD-E的平面角．因此要使A1-BD-E为直二面角，即∠A1OE=90°，由平几知识可得△A1AO～△OCE，利用对应线段成比例结合已知条件，可得当CE的长度为时，二面角A1-BD-E为直二面角．点评：本题给出底面为菱形的直四棱柱，证明直线与平面平行并探求了平面与平面成直角的问题，着重考查了线面平行的判定和面面垂直的定义，以及二面角的平面角求法等知识，属于中档题．