已知，如图AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；

网友回答

C

解析分析：①AB是直径，易知∠AEB=90°，而∠ABE=45°，AB=AC，从而易求∠ABC和∠ACB，进而可求∠EBC；②连接AD，由于AB=AC，∠ADB=90°，利用等腰三角形三线合一定理可知BD=CD；③在Rt△BCE中，易求∠EBC和∠C，利用BE=tan67.5°?CE，可知BE≠2CE，利用∠BAC=45°，∠AEB=90°，易证△ABE是等腰直角三角形，从而可知AE≠2CE；④由于∠ABE=45°，BAD=22.5°，易得劣弧AE=2劣弧BD，而劣弧BD=劣弧DE，从而易证劣弧AE=2劣弧DE；⑤由圆内接四边形的外角等于它的内对角，得到一对角相等，再由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠DEC=∠ACB，利用等角对等边即可得到DE=DC．

解答：解：①∵∠A=45°，AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°，此选项正确；②连接AD，∵AB=AC，AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=CD，此选项正确；③∵AB是直径，∴∠AEB=90°，由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，∴BE=tan67.5°?CE，∴BE≠2CE，在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°，∴∠ABE=45°，∴AE=BE，∴AE≠2CE，此选项错误；④∵∠ABE=45°，BAD=22.5°，∴劣弧AE=2劣弧BD，∵劣弧BD=劣弧DE，∴劣弧AE=2劣弧DE，此选项正确．⑤∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠ABC，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DEC=∠ACB，∴DE=DC，本选项正确，故选C

点评：本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是求出相应角的度数．