已知函数f（x）=x|x-a|（x∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数．

网友回答

解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．???…（3分）
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函数．??????????????????????????????????…（6分）
∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．??…（7分）
（2）在R上恒为增函数，…（8分）
∴y=x2+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x2+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，…（10分）
∴，…（14分）
∴-2≤a≤2．??????????????????????????????????????????…（15分）
解析分析：（1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；（2）将函数g（x）=f（x）+2x+1写成分段函数的形式，分别确定各段的单调性，即可建立不等式组，从而可求实数a的取值范围．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号．