如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=8，过A作直线PQ，若∠PAC=∠ABC．（1）求证：PQ是半圆O的切线；（2）若点M从点C出发，沿线段CA向点A运动，N从点A

网友回答

（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ABC+∠BAC=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠PAC=∠ABC（已知），
∴∠PAB=∠PAC+∠BAC=90°（等量代换），
∴PQ⊥AB，
∴PQ是半圆O的切线；

（2）解：①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，则∠ADN=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADN=∠ACB（等量代换）；
∵∠PAC=∠ABC，即∠NAD=∠ABC，
∴△NAD∽△ABC，
∴（相似三角形的对应边成比例），
∵AB=10，AC=8，AN=CM=t，
∴，
∴ND=t，
∴S====，
∴当t=4时，△AMN的面积最大，最大值是；?????????????????????

②在Rt△ABC中，BC===6，
∴cos∠CBA=；
如图2，若MN=MA，作ME⊥AP，垂足为E，∴AE=，
在Rt△AEN中，cos∠MAE==cos∠CBA=，
∴=，
∴；
如图3，若AN=NM，作NF⊥AC，垂足为F，则AF=，
在Rt△AFN中，cos∠NAF==cos∠CBA=，
∴=，
∴，
若AN=AM，有t=8-t，则t=4；???????
故当△AMN为等腰三角形时，t的值为、4或．

解析分析：（1）欲证PQ是半圆O的切线，只需证明PQ⊥AB即可；（2）①如图1，作ND⊥AC，垂足为D，构建相似三角形△NAD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例知，由此可以求得ND=t；然后根据三角形的面积公式可以求得S与t之间的函数关系式；最后根据二次函数最值的求法来求，△AMN的面积的最大值；②需要分类讨论：求当AN为底、AM为底、MN为底三种情况下的时间t的值．

点评：本题考查了圆的综合题：圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）、勾股定理、三角形的面积公式、二次函数的最值的求法以及等腰三角形的性质等知识点的综合运用．注意：在解答（2）②题时，需要对等腰△AMN的底边进行分类讨论，以防漏解．