解答题已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）?f（-x

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解：=1+2sincos-（1-cosx）
∴f（x）=sinx+cosx
（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=
∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=
（II）∵f（x）?f（-x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，
f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x
∴函数F（x）=f（x）?f（-x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，
化简，得数F（x）=sin（2x+）+1
当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1
令-+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得-+kπ＜x＜+kπ
∴函数F（x）单调递增区间为（-+kπ，+kπ）．解析分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；（II）将函数f（x）和f（-x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．