四边形ABCD,bc=cd=1.角ABC=角ADC=90度,则向量AB乘向量AD的最小值为多少.A.

网友回答

帅锅,这哪是一道向量的题目呀,标准的函数题目,搞成一个选择题,过分!
解法前面的一些推导从略,容易判断：直角△ABD和直角△ACD全等
令：|AB|=|AC|=x,x>0,则：向量AB dot 向量AD=x^2*cos(∠BAC)
因为后面的过程实际上与向量关系不大了,故省去向量模值符号,直接用线段代替模值.
cos(∠CAD)=x/sqrt(x^2+1),则：cos(∠BAC)=2cos²(∠CAD)-1=(x^2-1)/(x^2+1)
所以：向量AB dot 向量AD=f(x)=x^2*cos(∠BAC)=x^2*(x^2-1)/(x^2+1)
可以看出,函数f(x)在R上有3个零点,但考虑到x>0,在本题中,实际上只有1个零点
即：x=1时取得,此时对应向量AB和向量AD垂直
f'(x)=2x*(x^4+2x^2-1)/(x^2+1)^2,在x>0时,当：x^4+2x^2-1=0,即：(x^2+1)^2=2
即：x=sqrt(sqrt(2)-1)时,f'(x)=0,当0