如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1两两垂直且长度相等,B1C1=BC,D为BB1中点,E为AB上一点,且BE=BA,(Ⅰ)求证:DE∥平面ACC

发布时间:2020-08-01 02:52:04

如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,CA,CB,CC1两两垂直且长度相等,B1C1=BC,D为BB1中点,E为AB上一点,且BE=BA,
(Ⅰ)求证:DE∥平面ACC1A1;
(Ⅱ)设二面角B1-AB-C的大小为θ,求tgθ;
(Ⅲ)若AC=2,求点C到平面ABB1的距离.

网友回答

解:(Ⅰ)过D作DF⊥BC于点F(或取BC的四等分点),所以FD∥C1C,
所以C1C∥平面ACC1A1.
又因为E为AB上一点,且BE=BA,
所以EF∥AC,
所以EF平面ACC1A1.
所以平面EFD∥平面ACC1A1,
又因为ED?平面EFD,
所以ED∥平面ACC1A1(4分).
(Ⅱ)由(Ⅰ)过F作FG⊥BA于G,连GD,
由题意可得:FD⊥平面ABC,
所以AB⊥平面FDG,
所以GD⊥AB,
所以可得∠FGD=θ,
因为E为AB上一点,且BE=BA,
所以点F为线段BC的四等分点,
所以.
因为D为BB1中点,所以DF=C1C=.
所以在Rt△DFG中,解得tgθ==2(4分)
(Ⅲ)由题意可得:VA--CBB1=.
因为AC=2,所以AB=2,B1B=,AB1=3,
所以由正弦定理与余弦定理可得:S△AB1B=3.
由VC-ABB1=VA--CBB1可得:C到平面ABB1的距离为.(4分)
解析分析:(Ⅰ)过D作DF⊥BC于点F(或取BC的四等分点)先证明平面EFD∥平面ACC1A1,从而得ED∥平面ACC1A1.(Ⅱ)由(Ⅰ)过F作FG⊥BA于G,连GD证明∠FGD=θ,在Rt△DFG中解得tgθ=2.(Ⅲ)由VC-ABB1=VA-CBB1??解得C到平面ABB1的距离为.

点评:本题考查用线面平行的判定定理证明线面平行,以及求二面角的平面角,而空间角解决的关键是做角,由图形的结构及题设条件正确作出平面角来,是求角的关键,以及考查利用等体积法求点到平面的距离.
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