如图,在几何体P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,AB=PA=2.
(1)当AD=2时,求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)若PC与AD所成角为45°,求几何体P-ABCD的体积.
网友回答
解:(1)当AD=2时,四边形ABCD是正方形,则BD⊥AC,(2分)
∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD,(4分)
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC;(6分)
(2)若PC与AD成45°角,AD∥BC,则∠PCB=45°.(8分)
∵BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB,PB?平面PAB
∴BC⊥PB(10分)
∴∠CPB=90°-45°=45°,∴
∴几何体P-ABCD的体积为.(12分)
解析分析:(1)要证平面PBD⊥平面PAC,只需证明平面ABCD内的直线BD,垂直平面PBD必定两条相交直线PA、AC即可;(2)PC与AD所成角为45°,证明BC⊥平面PAB,求出底面ABCD的面积和高,求几何体P-ABCD的体积.
点评:本题考查平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是中档题.