发布时间：2021-02-20 12:17:42
（12分）圆、椭圆、双曲线都有对称中心，统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦（不是直径）的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线：已知直线与曲线：交于两点，的中点为，若直线和(为坐标原点)的斜率都存在，则.这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.
（Ⅰ）证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；
（Ⅱ）利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：
① 过点作直线与椭圆交于两点，求的中点的轨迹的方程；
② 过点作直线与有心圆锥曲线交于两点，是否存在这样的直线使点为线段的中点？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
解析：（Ⅰ）证明 设
相减得
注意到
有
即 …………………………………………5分
（Ⅱ）①设
由垂径定理，
即
化简得
当与轴平行时，的坐标也满足方程.
故所求的中点的轨迹的方程为；
…………………………………………8分
② 假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点，且P为的中点，则
由于
直线，即，代入曲线的方程得
即
由 得.
故当时，存在这样的直线，其直线方程为；
当时，这样的直线不存在. ………………………………12分