如图,已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,BC=AC,E、F分别在Rt△ABC的直角边AC、BC上滑动,AE=CF （1）求证：△DEF1）求证：△DEF∽△CAB（2）求CE/AE为何值时,可使得S△DEF：S△CAB=5:18成立
网友回答
7年没碰过数学了,好好想了想,也算想通了.
第一问：连接CD,证明△CDF≌△ADE全等.AE=CF,∠A=∠BCD（这个不用我说把）,CD=AD这个都是直角等腰三角形的特点.证明结束了.就知道DE=DF.∠ADE=∠FDC,全等三角形边和角对应相等.
由于∠CDA=90°,∠ADE=∠FDC,因此∠FDE为直角,因此△DEF为等腰直角三角形.所以：△DEF∽△CAB
第二问：设：CE=X,AE=βX,AE=CF,根据直角三角形,EF=根号下X²+(βX)²,这样的话就能求出DE=DF=sin45°根号X²+(βX)² 这样Rt△DEF面积就出来了.而Rt△ABC面积=½AC*BC AC=X+βX.一比就出来了,自己算吧.
真不容易啊,数学符号真难打,根号我打不出来,你能理解的,我也有7年没碰过数学了.竟然还知道啊.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
（1）由AC=BC，∠ACB=90°，
D是AB的中点，∴CD⊥AB，CD=AD。
∵AE=CF，∠A=∠DCF=90°，
∴△AED≌△CFD（SAS）
∴DE=DF，
又∠FDC=∠EDA，∴∠FDE=∠CDA=90°，
即△DEF也是等腰直角三角形，
∴△DEF∽△CAB。
（2）设CA=6，CE=x，AE=6-x，
S△DEF=S△ABC-S△ADE-S△CEF-S△DBF
=6²×1/2-3（6-x）×1/2-x（6-x）×1/2-3x×1/2
=18-9+（3/2）x-3x+（1/2）x²-（3/2）x
=（1/2）x²-3x+9
S△DEF：S△CAB=5:18
[（1/2）x²-3x+9]：18=5:18，
∴（1/2）x²-3x+9=5
x²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
∴x1=2,x2=4.
CE:AE=2:4=1:2
CE:AE=4:2=2:1.