解答题已知f（x）=ln（x+1），f（x）的反函数为f-1（x）．
（I）求g（x）=f（x）-f-1（x）的单调区间；
（II）若对任意x＞0，不等式Inf-1（x）-f（ex）＜x-a恒成立，求实数a的取值范围．
网友回答
解：（I）由y=ln（x+1），得x=ey-1，∴f-1（x）=ex-1，x∈R．…（1分）
∴g（x）=ln（x+1）-ex+1，且x＞-1，∴g′（x）=-ex．…（3分）
当x＞0时，＜1＜ex，∴g′（x）＜0；…（4分）
当-1＜x＜0时，＞1＞ex，∴g′（x）＞0．…（5分）
∴g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（6分）
（II）设h（x）=x+f（ex）-lnf-1（x）=x+ln（ex+1）-ln（ex-1），x＞0…（7分）
∵h′（x）=+-=×，…（9分）
当0＜x＜ln2时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，ln2）上是减函数；????…（10分）
当x＞ln2时，h′（x）＞0，∴h（x）在（ln2，+∞）上是增函数．????…（11分）
∴h（x）min=h（ln2）=ln2+ln3=ln6，∴a＜ln6．…（12分）解析分析：（I）求出f（x）的反函数为f-1（x）．求出g（x）=f（x）-f-1（x）的解析式，然后求出函数的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0求出函数的减区间．（II）构造函数h（x）=x+f（ex）-lnf-1（x）=x+ln（ex+1）-ln（ex-1），求出其最小值，令a小于其最小值即可．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立的问题，求解此类问题的关键是运用导数的计算公式正确求出导数，第二问的恒成立问题关键是正确转化为求最值的问题，转化后易解．本题运算量较大，易因马虎导致某一步运算出错，导致后续的运算结果全错．运算变形时要严谨．