解答题已知f?（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f?（a1），f?（a2），…，f?（an），…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列{an}是等差数列；
（2）若bn=an?f?（an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求Sn；
（3）若cn=f（an）lgf?（an），问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）由题意f?（an）=m2?mn-1，即man=mn+1．
∴an=n+1，∴an+1-an=1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意bn=anf?（an）=（n+1）?mn+1，
当m=3时，bn=（n+1）?3n+1，∴Sn=2?32+3?33+4?34+…+（n+1）?3n+1…①，
①式两端同乘以3得，3Sn=2?33+3?34+4?35+…+（n+1）?3n+2…②
②-①并整理得，
2Sn=-2?32-33-34-35-…-3n+1+（n+1）?3n+2=-32-（32+33+34+35+…+3n+1）+（n+1）?3n+2
=-32-+（n+1）?3n+2=-9+?（1-3n）+（n+1）?3n+2=（n+）3n+2-．
∴Sn=（2n+1）3n+2-．
（3）由题意cn=f?（an）?lg?f?（an）=mn+1?lgmn+1=（n+1）?mn+1?lgm，
要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立，即（n+1）?mn+1?lgm≥（n+2）?mn+2?lgm，对一切n∈N*成立，
当m＞1时，lgm＞0，所以n+1≥m（n+2），即m≤对一切n∈N*成立，
因为=1-的最小值为，所以m≤，与m＞1不符合，即此种情况不存在．
②当0＜m＜1时，lgm＜0，所以n+1≤m（n+2），即m≥对一切n∈N*成立，所以≤m＜1．
综上，当≤m＜1时，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项．解析分析：（1）利用f?（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．代入an，求出an的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{an}是等差数列；（2）通过bn=an?f?（an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m=3时，求出Sn的表达式，利用错位相减法求出Sn；（3）利用cn=f（an）lgf?（an），要使cn≥cn+1对一切n∈N*成立，推出m，n的关系式，通过m＞1，0＜m＜1结合一切n∈N*，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项，推出m的取值范围；点评：本题考查数列的定义的应用，错位相减法，数列与函数相结合，恒成立问题的综合应用，考查分析问题解决问题，转化思想的应用，知识面广，运算量大．