解答题已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
（I）证明数列{an+an+1}是等比数列；
（II）求a1+a2+…an（n∈N*）
网友回答
解：（I）证明：因为an+1=2an+3an-1，所以an+1+an=3（an+an-1），
所以=3是常数，
所以数列{an+an+1}是以a1+a2=3为首项，等比为3的等比数列；
（II）由（Ⅰ）得an+1+an=3n，…①，
又an+1=2an+3an-1（n≥2且n∈N*）．
得an+1-3an=-（an-3an-1），（n≥2且n∈N*）．
即=-1，常数，
所以数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，
an+1-3an=（-1）n，…②，
解①②得，an=，
∴a1+a2+…an=（31+32+33+…+3n）-[（-1）+（-1）2+（-1）3+…+（-1）n]
=?? （n∈N*）．解析分析：（I）利用a1=1，a2=2，an+1=2an+3an-1，推出是常数，即可证明数列{an+an+1}是等比数列；（II）利用（I）推出an+1+an=3n，然后说明数列{an+1-3an}是以-1为首项，公比为-1的等比数列，求出an+1-3an=（-1）n，解出an，然后求a1+a2+…an（n∈N*）点评：本题考查等比数列的判断，数列通项公式的求法，考查转化思想，计算能力．