已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（3）若存在n∈N*，使得an≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．
网友回答
解：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=
所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n≥2）
两式相减得nan=
所以=3（n≥2）
因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以nan=2?3n-2（n≥2）
故an=
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n?3n-2
当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n-2，
∴3Tn=3+4?31+…+2（n-1）?3n-2+2n?3n-1，
两式相减得（n≥2）
又∵T1=a1=1也满足上式，
所以Tn=
（3）an≥（n+1）λ等价于λ≤，
由（1）可知当n≥2时，
设f（n）=，
则f（n+1）-f（n）=＜0，
∴，又及，
∴所求实数λ的取值范围为λ≤
解析分析：（1）因为a1+2a2+3a3+…+nan=，所以a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（n≥2．所以=3（n≥2）．由此能够求出an．
（2）由（1）可知当n≥2n2an=2n?3n-2．当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n-2，由错位相减法得到（n≥2），又因为T1=a1=1也满足上式，所以Tn=．
（3）an≥（n+1）λ等价于λ≤，当n≥2时，，设f（n）=，则f（n+1）-f（n）=＜0，由此能求出实数λ的取值范围．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．