解答题已知函数f（x）对任意的实数m，n，f（m+n）=f（m）+f（n），当x＞0时

网友回答

（1）解：令m=n=0，
f（m+n）=f（m）+f（n），由f（m+n）=f（m）+f（n），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0．
（2）证明：设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]
=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]
=-f（x2-x1），
因为当x＞0时，有f（x）＞0，且x2-x1＞0，所以f（x2-x1）＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
（3）解：由f（1）=1及已知，得2=f（1）+f（1）=f（2），
所以不等式f（4x-2x）＜2等价于f（4x-2x）＜f（2）．
由（2）知f（x）为R上的增函数，所以有4x-2x＜2，
不等式f（4x-2x）＜2即（2x）2-2x-2＜0，则（2x+1）（2x-2）＜0，
所以2x＜2，解得x＜1．
故不等式f（4x-2x）＜2的解集为{x|x＜1}．解析分析：（1）赋值法：在f（m+n）=f（m）+f（n）中，令m=n=0即可解得；（2）利用增函数的定义证明：设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=f（x1）-f[（x2-x1）+x1]=f（x1）-[f（x2-x1）+f（x1）]=-f（x2-x1），再结合x＞0时，有f（x）＞0，可得到f（x1）＜f（x2）．（3）由f（1）=1及已知可得2=f（2），再由函数f（x）的单调性可把不等式f（4x-2x）＜2化为4x-2x＜2，从而可求得不等式．点评：本题考查抽象函数的函数值及其单调性问题，定义及其性质是解决抽象函数问题的主要手段．