已知，若f（x）=ax2-4x+2在区间[1，4]上最大值为M（a），，最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的解析式；（2）讨论g（a）

网友回答

解：（1）f（x）的对称轴为x=
∵
∴
∴当x=时，f（x）最小为N（a）=
时，当x=4时最大为M（a）=16a-14
时，当x=1时最大为M（a）=a-2
∴
（2）时
∵＜0
∴
证明（3）∵
∴当a=时g（a）最大，最大值为
∵
即∵2a2+4≥g（a）max
∴2a2+4≥g（a）

解析分析：（1）求出f（x）的对称轴，判断对称轴与区间的关系，求出f（x）的最小值；讨论对称轴与区间中点的位置关系，求出最大值；利用最大值减去最小值求出g（a）（2）求出a∈时g（a）的导函数，判断出其符号，得到g（a）的单调性．（3）利用（2）的单调性求出g（a）的最大值；求出二次函数2a2+4的最小值，该最小值大于等于g（a）的最大值，得证．

点评：本题考查二次函数的最值的求法，其最值取决于对称轴与区间的位置关系、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查等价转化的数学数学方法．