解答题已知数列{An}的前n项和为Sn，a1=1，满足下列条件①?n∈N*，an≠0；

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（I）解：由题意，
当n≥2时an=Sn-Sn-1=，
整理，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
又?n∈N*，an≠0，所以an+an-1=0或an-an-1-1=0，
当an+an-1=0时，a1=1，，
得，；
当an-an-1-1=0时，a1=1，an-an-1=1，
得an=n，．
（II）证明：当an+an-1=0时，，
|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，所以|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=0，
当an-an-1-1=0时，，
|Pn+1Pn+2|=，|PnPn+1|=，
|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|=-
=
=，
因为＞n+2，＞n+1，
所以0＜＜1，
综上0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|＜1．解析分析：（I）由题意，当n≥2时an=Sn-Sn-1，由此可得两递推式，分情况可判断数列{an}为等比数列或等差数列，从而可求得通项an，进而求得Sn；（II）分情况讨论：当当an+an-1=0时，，计算可得|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|=，从而易得|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|的值；当an-an-1-1=0时，，利用两点间距离公式可求得|Pn+1Pn+2|，|PnPn+1|，对|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|化简后，再放缩即可证明结论；点评：本题考查数列与函数的综合，考查分类讨论思想，解决本题的关键是利用an与Sn的关系先求得an．