函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处

网友回答

求导,得f'(x)=ax－2a－1＋2/x
f'(1)＝a－2a－1＋2＝f'(3)＝3a－2a－1＋2/3
a=2/3======以下答案可供参考======
供参考答案1:
如图 函数f(x)=1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx,1、若曲线y=f(x) 在 x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值 是哪张卷子?(图1)
供参考答案2:
定义域x>01)求导f'(x)=ax-(2a+1)+2/x
f'(1)=a-(2a+1)+2
f'(3)=3a-(2a+1)+2/3
由题有f'(1)=f'(3)整理即1-a=a-1/3,解得a=2/3
2)f'(x)=ax-(2a+1)+2/x=[ax^2-(2a+1)x+2]/x=(ax-1)(x-2)/x
令f'(x)=0
i)当a=由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
由f'(x)ii)当1/2>a>0,0由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,2)
U(1/a,+∞)由f'(x)iii)当a=1/2,有f'(x)>=0,且f'(x)不恒为0，得f(x)单调递增区间x∈(0,+∞)
iiii)当a>1/2,0由f'(x)>0,得f(x)单调递增区间x∈(0,1/a)U(2,+∞)
由f'(x)3)只需对任意x1 ,x2∈ (0,2]使得f(x1)因为g(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1>=-1得到min[g(x2)]=-1，x2∈ (0,2]
问题便转化为f(x)即1/2ax^2-(2a+1)x+2lnx分离常数a,即a>(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),在x∈ (0,2]恒成立【注意x^2-4x该问题等价于a>maxh(x),其中h(x)=(2x-4lnx-2)/(x^2-4x),x∈ (0,2]
求导易得h'(x)=[2(x-2)(4lnx-x-2)]/[(x^2-4x)^2]下面判断h'(x)的符号只需判断4lnx-x-2的符号