设数列{an}的前n项和为Sn，且．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项

网友回答

（Ⅰ）解：当n=1时?；
当n≥2时?，
因为a1=1适合通项公式．
所以?（n∈N*）．?????????????????????????????????????…（5分）
（Ⅱ）证明：因为?bn+1-2bn=8an，所以?，即．
所以是首项为=1，公差为2的等差数列．
所以，
所以．???????????????????????????????????????…（9分）
（Ⅲ）解：存在常数λ使得不等式（n∈N*）恒成立．
因为①
所以2Tn=1?22+3?23+…+（2n-5）?2n-1+（2n-3）?2n+（2n-1）?2n+1②
由①-②得，
化简得．
因为==，
（1）当n为奇数时，，所以，即．
所以当n=1时，的最大值为，所以只需；
（2）当n为偶数时，，所以，
所以当n=2时，的最小值为，所以只需；
由（1）（2）可知存在，使得不等式（n∈N*）恒成立．…（13分）
解析分析：（Ⅰ）根据数列递推式，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；?????????????（Ⅱ）根据bn+1-2bn=8an，可得，从而可得是首项为=1，公差为2的等差数列，由此可求{bn}的通项公式；（Ⅲ）存在常数λ使得不等式（n∈N*）恒成立．利用错位相减法求数列的和，再分类讨论，利用分离参数法，即可得到结论．

点评：本题考查数列的通项，考查等差数列的证明，考查数列的求和，考查存在性问题的探究，考查分离参数法的运用，属于中档题．