已知函数y=f?（x）在R上是偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x1，x2∈[0，3]且x1≠x2时，，给出如下命题：f（2a-x）=f（x

网友回答

D

解析分析：①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根据函数为偶函数，得到f（3）=0；②将f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数，再由f（x）是偶函数可得，x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③根据偶函数f（x）在[0，3]上为增函数，且周期为6得到函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；④根据f（3）=0，周期为6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四个零点．

解答：①令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3），函数y=f （x）在R上是偶函数，得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故①正确．②由f（3）=0，可得：f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数．由于f（x）为偶函数，y轴是对称轴，故直线x=-6也是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②正确．③因为当x1，x2∈[0，3]，x1≠x2时，有?成立，故f（x）在[0，3]上为增函数，又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数，又周期为6．故在[-9，-6]上为减函数，故③错误．④函数f（x）周期为6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四个零点，故④正确．故选 D．

点评：本题考查了抽象函数的单调性，奇偶性，周期性，综合性比较强，需熟练灵活掌握，属于基础题．