设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=________；（2）若θ∈[，]，则该椭

发布时间：2020-07-31 13:20:27

设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|=________；
（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为________．

网友回答

解：（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0）
，
∵AF⊥BF，
∴=c2-x2-y2=0
∴x2+y2=c2=a2-b2
∴|AB|=2|AO|=
（2）∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a? …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα??? …②
|BF|=2ccosα??? …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴e==
∵a∈[π，π]
∴π≤α+π≤π
∴≤sin（α+π? ）≤1
∴
故
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