在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状

网友回答

解：（Ⅰ）利用正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a2-c2=ab-b2，
变形得：a2+b2-c2=ab，
∴cosC==，
又C为三角形的内角，
则C=；
（Ⅱ）∵=，又c=2rsinC=2××=，
∴ab=a2+b2-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴当a=b=时，（ab）max=6，
∴S△ABC=absinC=ab≤，
又a=b，且C=，
则此时△ABC为等边三角形．
解析分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，再利用正弦定理化简已知的等式，变形后代入cosC中，约分后求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（Ⅱ）由正弦定理得到c=2rsinC，将已知r及sinC的值代入求出c的长，代入=中，整理后再利用基本不等式变形，求出ab的最大值，并求出取得最大值时a=b=，由ab的最大值及sinC的值，即可求出三角形ABC面积的最大值，且得到此时a=b，加上C的度数，即可判断出三角形ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．