在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S．证明以△APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ABC相似．

网友回答

解：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，
△CSQ的外心，作出六边形
O1PO2QO3S后再由外
心性质可知
∠PO1S=2∠A，
∠QO2P=2∠B，
∠SO3Q=2∠C．
∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°．
从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°
将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3，易判断△KSO1≌△O2PO1，
同理可得△O1O2O3≌△O1KO3．
∴∠O2O1O3=∠KO1O3=∠O2O1K
=（∠O2O1S+∠SO1K）
=（∠O2O1S+∠PO1O2）
=∠PO1S=∠A；
同理有∠O1O2O3=∠B．
故△O1O2O3∽△ABC．
解析分析：设O1，O2，O3是△APS，△BQP，△CSQ的外心，作出六边形，即可判定△KSO1≌△O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△O1KO3，再求证∠O1O2O3=∠B即可得△O1O2O3∽△ABC．

点评：本题考查了相似三角形的证明，考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了周角为360°的性质，考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠O1O2O3=∠B是解题的关键．