解答题在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an;
(3)试比较an与Sn的大小.
网友回答
(1)证明:∵bn=log2an,
∴bn+1-bn=log2=log2q为常数.
∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.
(2)解:∵b1+b3+b5=6,∴b3=2.
∵a1>1,∴b1=log2a1>0.
∵b1b3b5=0,∴b5=0.
∴解得
∴Sn=4n+×(-1)=.
∵∴
∴an=25-n(n∈N*).
(3)解:显然an=25-n>0,当n≥9时,Sn=≤0.
∴n≥9时,an>Sn.
∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=,a7=,a8=,S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4,
∴当n=3,4,5,6,7,8时,an<Sn;
当n=1,2或n≥9时,an>Sn.解析分析:(1)由题设知bn+1-bn=log2=log2q为常数.所以数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.(2)根据题设条件先求首项和公差及公比.然后再求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.(3)根据题设条件分情况讨论,能够比较an与Sn的大小.点评:本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.