如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、BF，点M是BF上一点且=，过点M做MN⊥BC于点N，连接FN．下列结论中：①

网友回答

C
解析分析：设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．在正方形ABCD中，根据勾股定理可得BE=CE，故①正确；过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．由F是CE的中点，得出EG=DG=DE=a，GF=CD=a．再根据正切函数的定义可得tan∠AEB=tan∠GDF=2，则∠AEB=∠GDF，BE∥DF，从而有∠BEF=∠DFE，故②正确；由△EFG≌△CFH，得出FG=FH=a，由MN∥FH，根据平行线分线段成比例定理，可得MN=FH=a，则MN=AB，故③正确；分别计算S△FMN与S四边形FEBN，即可得出==，故④错误．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．在△ABE中，由勾股定理，得BE=a，在△CDE中，由勾股定理，得CE=a，∴BE=CE，故①正确；过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．∵FG∥CD，点F是CE的中点，∴EG=DG=DE=a，GF=CD=a．在直角△ABE中，∵tan∠AEB===2，在直角△GFD中，∵tan∠GDF===2，∴tan∠AEB=tan∠GDF，∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，∴∠AEB=∠GDF，∴BE∥DF，∴∠BEF=∠DFE，故②正确；易证△EFG≌△CFH，则FG=FH=a，EG=CH=a．∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，∴四边形CDGH是矩形，∴CH=DG=a，∴BH=BC-CH=a．∵MN⊥BC，GH⊥BC，∴MN∥FH，∴===，∴MN=FH=a，BN=BH=a，∴MN=AB，故③正确；∵BN=CH=a，∴NH=BC-BN-CH=a，∴S△FMN=MN?NH=×a×a=a2，S四边形FEBN=S正方形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△CNF=4a2-?2a?a-?2a?a-?a?a=a2．∴==，故④错误．故选C．

点评：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题的关键，设辅助未知数AE=a可使问题简化．