解答题已知函数,(a>0且a≠1).(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)当函

发布时间:2020-07-09 09:40:13

解答题已知函数,(a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)当函数f(x)的定义域为(-1,1)时,求使f(1-m)+f(1-m2)<0成立的实数m的取值范围.

网友回答

解:(1)函数f(x)在R上为增函数.???????????????????????
证明如下:设x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=,
当a>1时,a2-1>0,ax1-ax2<0,
∴f(x1)<f(x2);
当0<a<1时,a2-1<0,ax1-ax2>0,
∴f(x1)<f(x2);
∴当a>0且a≠1时,f(x)在R上是增函数;
(2)∵f(x)定义域为(-1,1),在数轴上关于原点对称,…(8分)
又∵==-f(x),
∴f(x)是定义域(-1,1)上的奇函数.????????????????????????…(10分)
由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2),∴f(1-m)<f(m2-1),…(12分)
∴,…(14分)
解得即为所求m?的取值范围.???????????????????…(15分)解析分析:(1)利用定义法设x1,x2∈R,且x1<x2,再根据f(x1)-f(x2)与0的大小比较,对其进行化简,然后再对a进行讨论,从而求解;(2)先证明f(x)是奇函数,再将f(1-m)+f(1-m2)<0移项,利用奇函数的性质和函数的单调性进行求解;点评:此题主要考查函数的奇偶性,要知道偶函数的性质f(-x)=f(x),奇函数的性质f(-x)=-f(x),是一道中档题.
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