如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CB，AB的中点，连接CF并延长，与DA的延长线交于点M，连接DE交CF于点P，连接AP，则有下列结论：①∠BCF=∠CDE；②

网友回答

C
解析分析：根据正方形的性质，即可得∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，又由E、F分别是CB，AB的中点，利用SAS即可判定△DCE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等，即可判定①正确；根据全等三角形对应角相等，即可得DE⊥CF，在利用ASA证得△BCF≌△AMF，即可得到AD=AM，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可判定②正确；由△DCE≌△CBF，可得CF=DM，根据直角三角形的性质，可得FM＞AM，即FM＞CD，可判定③错误；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可判定④正确．

解答：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCE=∠B=90°，CD=BC=AB，∵E、F分别是CB，AB的中点，∴BF=AB，CE=BC，∴BF=CE，∴△DCE≌△CBF（SAS），∴∠BCF=∠CDE，故①正确；∵∠CDE+∠CEP=90°，∴∠BCF+∠CEP=90°，∴∠CPE=90°，即CF⊥DE，∵BF=AF，∠B=∠BAM=90°，∠BFC=∠AFM，∴△BCF≌△AMF（ASA），∴AM=BC，∴AD=AM，∴AP=AD，故②正确；∵△DCE≌△CBF，∴CF=DE，∵∠FAM=90°，∴FM＞AM，即FM＞CD，∴CM=CF+FM=DE+FM＞CD+DE；故③错误；设CE=a，S△CDM=b，则BC=2a，AB=AD=AM=CD=2a，BF=AF=a，∴MD=AD+AM=4a，∴CF==a，∵∠BCF=∠PCE，∠B=∠CPE=90°，∴△CPE∽△CBF，∴，∴S△CDM=5b，∴S四边形EPFB=4b，∵BC∥AD，∴△CPE∽△MPD，∴=，∴S△MPD=16b，∵=，∴S△CPD=4b，∴S△CDM=S△CPD+S△MPD=4b+16b=20b，∴S△CDM=5S四边形EPFB．故④正确．∴其中正确的结论有①②④．故选C．

点评：此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意相似三角形与全等三角形的判定，以及其性质的灵活应用．